Étude d'un satellite

D'après le sujet de bac STL-STI2D, Antilles-Guyane, 2019.

En raison des frottements avec l’atmosphère résiduelle terrestre, les satellites en orbite basse
perdent progressivement de l’altitude et finissent par se consumer dans les couches les plus
denses de l’atmosphère. Cet événement est appelé rentrée atmosphérique.
Le temps, exprimé en jours, avant la rentrée atmosphérique dépend des caractéristiques du
satellite et de l’altitude \(h\), exprimée en kilomètres, de son orbite.
Pour un satellite donné, ce temps est modélisé par une fonction \(T\) de la variable \(h\), définie et
dérivable sur l’intervalle \(\left[0~;+\infty\right[\).

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A : étude d’un premier satellite

On admet que la fonction \(T\), associée à ce premier satellite, est une solution de l’équation
différentielle \((E)\) suivante dans laquelle \(y\) désigne une fonction de la variable \(h\) définie et
dérivable sur \(\left[0~;+\infty\right[\) et \(y'\) la fonction dérivée de \(y\).
\((E): 40y'-y=0\)

1. Résoudre l’équation différentielle \((E)\) sur \(\left[0~;+\infty\right[\).
2. Déterminer la fonction \(T\) solution de l’équation différentielle \((E)\) qui vérifie la condition \(T(800)=2~000\).

Partie B : étude d’un deuxième satellite

Dans cette partie, on admet que la fonction \(T\), associée à ce deuxième satellite, est définie sur
l’intervalle \(\left[0~;+\infty\right[\) par \(T(h)=K\times0,012~\text e^{0,025(h-150)}\).
Le nombre réel \(K\) est appelé coefficient balistique du satellite.
La fonction \(T\) associée à ce deuxième satellite est représentée ci-après.
Dans cette partie, on ne demande pas de justification. Les résultats seront donnés avec la
précision permise par le graphique.

1. À quelle altitude minimale faut-il mettre en orbite ce deuxième satellite pour que le temps restant avant sa rentrée atmosphérique soit au moins égal à \(1~000\) jours ?
2. Déterminer une valeur approchée du coefficient balistique \(K\) de ce deuxième satellite.

Partie C : étude d’un troisième satellite : Hubble

Le satellite Hubble a un coefficient balistique \(K\) égal à \(11\).
La fonction \(T\), associée à ce troisième satellite, est donc définie sur l’intervalle \([0~ ; +\infty[\) par 
\(T(h) = 0{,}132 \, \text e^{0{,}025(h - 150)}\).

1. L'orbite du satellite Hubble est située à l’altitude \(h = 575\) km. Calculer le temps \(T(h)\) restant avant la rentrée atmosphérique du satellite Hubble. Arrondir au jour près.
2. Déterminer la limite de \(T\) en \(+\infty\).
3. a. Déterminer \(T'(h)\), où \(T'\) désigne la fonction dérivée de \(T\).
     b. En déduire le sens de variation de la fonction \(T\) sur \([0~ ; +\infty[\).
4. On souhaite étudier l’effet d’une augmentation de \(10\) km de l’altitude \(h\) sur le temps restant avant la rentrée atmosphérique du satellite Hubble.
     a. Montrer que \(T(h + 10) = \text e^{0{,}25} \times T(h)\).
     b. En déduire qu’augmenter l’altitude \(h\) de \(10\) km revient à augmenter d’environ \(28~\%\) le temps restant avant la rentrée atmosphérique du satellite Hubble.